היום חוגגים את יום הפאי. הזדמנות מצויינת לדבר על לימודי מתמטיקה. למה צריך ללמוד מתמטיקה, ואיך צריך ללמד מתמטיקה.
יום הפאי הוא חג לא רשמי שנחגג ברחבי העולם ב 14 למרץ לכבוד הקבוע המתמטי פאי בשעה 1:59 בצהרים (נגזר מהקירוב לפאי 3.14159) בישראל מציינים ב 14 למרץ גם את יום המדע, שהוא יום הולדתו של איינשטיין. את יום הפאי מציינים ברחבי העולם באכילת מאפי פאי ובתחרויות שינון ספרות הפאי. יום הפאי נחגג לראשונה ב 14.3.1988 ע"י הפיזיקאי לארי שו בסן פרנסיסקו. לארי שו נפטר בשנה שעברה. והיום אנחנו מציינים 30 שנה לחגיגות יום פאי.
הבוקר התבשרנו שבצירוף מקרים קוסמי, הלך לעולמו הפיזיקאי סטיבן הוקינג. אלברט איינשטיין נולד, וסטיבן הוקינג נפטר בתאריך ייצוג הפאי, בסוף מתמטיקאים יתחילו להאמין במיסטיקה.
יום הפאי: קודם כל קצת פאן
לפני שאני מתחילה לדבר על לימודי מתמטיקה וכל הפוסט הופך להיות רציני. בכל זאת חג היום, אז בואו נשתעשע קצת עם פאי.
אז קצת עובדות נחמדות על המספר המסקרן הזה:
- האות ¶ היא האות ה-16 באלפא-בית היווני והאות P היא האות ה-16 ב-ABC.
- פאי הוא מספר אינסופי. השיא הנוכחי נקבע בשנה שעברה על ידי הפיזיקאי פיטר טרוב, שחישב את פאי עד ל 22.4 טריליון ספרות – 22,459,157,718,361, ליתר דיוק – כאשר הוא שובר את השיא הקודם שנקבע בשנת 2013 על ידי 9 מיליון ספרות.
- בפרק 14 בעונה 2 של סטארטרק, ספוק מכניע את המחשב ע"י כך שהוא נותן לו פקודה לחשב את הספרה האחרונה של הפאי.
- מתמטיקאים ואיגיפטולוגים טוענים שבבניית הפירמידות של גיזה נעשה שימוש מכוון בפאי. היקף הפירמידה חלקי הגובה נותן מספר מקורב ל-¶2.
- אם מחברים את 144 הספרות הראשונות של הפאי מקבלים 666, עובדה חביבה על אוהבי מתמטיקה וקונספירציות.
- השיא בדקלום ספרות הפאי שייך כיום לסורש קומאר שארמה, מהודו. ב 21 לאוקטובר 2015 הוא דיקלם 70,030 ספרות פאי וזה לקח לו 17 שעות ו 14 דקות.
- האתר The Pi-Search Page מאפשר לחפש מחרוזות בתוך הפאי. שם גיליתי שתאריך הלידה שלי נמצא במיקום: 153487996 בפאי. ואפילו מספר תעודת הזהות של אחד הילדים שלי, נמצא במלואו ברצף הפאי.
- כיוון שיש 360 מעלות במעגל ופאי קשור באופן ישיר למעגל, מתמטיקאים שמחו לגלות כי מספר 360 הוא במיקום 359 של ספרות פאי.
- במיקום 763 בספרות הפאי יש רצף של שש תשיעיות, דבר המוכר כנקודת פיינמן.
- חישוב טריליוני ספרות אחרי הנקודה, הוא רק תחביב של חובבי פאי. נאס"א עושה שימוש רק ב-15 ספרות אחרי הנקודה לצורך חישוב מסעות בין גלקטיים. המתמטיקאי ג'יימס גרים טוען, שמספיקות 39 ספרות של פאי אחרי הנקודה כדי לחשב את היקף היקום הידוע לנו ברמת דיוק של אטום מימן בודד.
וגם, ידעתם שאפשר לנגן את פאי? אם מייצגים את הספרות 0-9 כתווים ומנגנים את הפאי, יוצא משהו די מגניב:
ולסיום, מישהו רוצה קצת פאי? בבקשה:
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823
בדיחה של גיקים. הייתי חייבת
יום הפאי: אז למה צריך ללמוד מתמטיקה?
אז מה העניין עם לימודי מתמטיקה? למה זה מעורר כזה שיח?
מתמטיקה נדרשת כבסיס לכל תחומי המדעים. בשנת 2015 יצא משרד החינוך עם התכנית הלאומית לעידוד לימודי המתמטיקה "לתת חמש". לתכנית קמו מתנגדים רבים שטוענים שמתמטיקה ומדעים הם לא חזות הכל ויש לטפח מיומנויות נוספות. אני מסכימה עם זה מאד, אפילו כתבתי פוסט שלם על איך ייראה עולם הלימוד והתעסוקה בשם כיתה 2030, וכתבתי על טיפוח מיומנויות רכות. אבל התכנית לא מדברת על זה. היטיב להגדיר זאת נשיא המדינה לשעבר שמעון פרס ז"ל שאמר:
"מדינת ישראל התברכה בכישרונות המסוגלים להגיע לגבהים בלתי צפויים אך הם חייבים טיפוח. אסור להשלים עם מצב שבו במדינת ישראל ילדים שיכולים ללמוד חמש יחידות בגרות בבתי הספר לא יעשו זאת בשל מחסור באמצעים. גירעון כספי ניתן לתקן מאוחר יותר – גירעון חינוכי אינו ניתן לתיקון.ישראל היא סמל הסטארט-אפ ניישן, אך לא לעולם חוסן! סטארט-אפ ניישן אינו מהלך חד פעמי – לא ניתן לקנות מצוינות מדעית פעם אחת ודי. על מנת שנעמוד בתחרות הגלובלית אל מול השווקים הבין-לאומיים, המדינה חייבת להשקיע את המרב כדי לאפשר לתלמידיה מדע מהשורה הראשונה. מקצועות המדעים והטכנולוגיה נשענים על מתמטיקה, ולכן קידום הלימודים וחתירה נמרצת למצוינות מדעית הם הכרח קיומי ואינטרס עליון לעתידה של ישראל".
לתכנית הזו תומכים רבים כמו מקסין פסברג ואלי הורוביץ. וכולם שותפים למחשבה שעתידה של מדינת ישראל תלוי בפיתוח של הון אנושי איכותי. לימודי מתמטיקה מוגברים יוצרים את התשתית לחיזוק הכלכלה הישראלית ולהיותה מובילה עולמית בפיתוחים אקדמיים, תעשייתיים (היי-טק) וצבאיים.
אבל מתי ראיתם לאחרונה ילד שבוחר לבלות שעות עם ספרי מתמטיקה בגלל משהו שפרס אמר? או בגלל שהוא מרגיש את אחריות ההמשכיות של הסטארט-אפ ניישן על כתפיו בנות ה-14?
את הילדים אולי יותר ידרבן לשמוע תוצאות של מחקר שקובע כי מי שלמדו 5 יח"ל מתמטיקה מקבלים נקודת זינוק עדיפה לחיים כמעט בכל פרמטר שנבדק, כולל בהשוואה למי שלמד 4 יחידות. עפ"י המחקר מסתבר שלימודים ל 5 יחידות במתמטיקה התגלו כמנבא הטוב ביותר להצלחה באקדמיה ובעבודה, ומראה על פערי שכר גבוהים לטובת מסיימי 5 יחידות מתמטיקה.
אז מעבר לכך שמתמטיקה היא כרטיס כניסה לעולם האקדמיה ומאפשרת להשתכר שכר מהגבוהים במשק, זה גם מאפשר להשתלב בתפקידים נחשקים בצבא, שהוא כבר מזמן, חברת ההשמה הגדולה של עולם התעסוקה הישראלי.
יום הפאי: אולי לא כולם צריכים ללמוד מתמטיקה?
מן העבר השני, נשמעות לא מעט דעות על חוסר הטעם ללמד כל אחד מתמטיקה.
האם לא מספיק שהצעירים היוצאים לעולם ידעו מתמטיקה בסיסית המספיקה לכישורי חיים? כמו לחבר, לחסר, לכפול ולחלק, קצת שברים ואחוזים אולי סטטיסטיקה בסיסית. אבל מה צריך המבוגר הממוצע יותר מזה?
האם רוב המבוגרים בעולם התעסוקה היום, ואפילו המוכשרים ביותר שבהם זוכרים היום לפתור משוואות מעריכיות? אני חושבת שלא צריך סקר מקיף כדי להבין שרוב האוכלוסיה המוצלחת ביותר, המובילה את המשק, כולל מנכ"לים של חברות ואפילו מתכנתים מוכשרים לא צריכים את זה, וחוץ מאולי מורים למתמטיקה שמגישים לבגרות, אף אחד לא באמת עושה בזה שימוש. חוץ מאלגוריתמאים, או מדענים כמובן.
אולי צריכים לחשב מסלול מחדש ולהגדיר מה מכל מרחב המתמטיקה אנחנו מלמדים בבתי ספר לכל התלמידים, וממשיכים ללמד 5 יחידות את רק את מי שהולך להרחיב במדעים. האם זו לא כפיה של חומר ומאמץ שווא שבהרבה פעמים גם פוגע בתחושת המסוגלות של רוב התלמידים שנאבקים במתמטיקה?
אני משאירה כרגע את השאלה הזו פתוחה.
יום הפאי: למה כל כך קשה ללמוד מתמטיקה?
אז מתמטיקה נחשבת לאימת הבגרויות, שוק השיעורים הפרטיים שנאמד בהיקף של מיליוני שקלים, מהווה ברובו (72%) שיעורים פרטיים במתמטיקה. בכל שנה אחרי הבגרות במתמטיקה ועם פרסום פתרונות השאלונים, אנחנו שומעים בתקשורת שהבגרות היתה קשה. בשנת 2013 לטענות של התיכוניסטים אף היה ביסוס בדמות התגובה של משרד החינוך שהודה, לאחר בדיקה, שהרמה של הבחינה לא תאמה את רמת הלימוד בכיתות וניתן פקטור באותה שנה, וגם ניתנה אפשרות לתלמידים לבחור את התשובות הטובות ביותר.
מאיפה מגיע הפער הזה?
אני יכולה להגיד שאותי לימדו מתמטיקה בצורה מחרידה, אני יודעת להגיד את זה רק בדיעבד. כי אני אוהבת מתמטיקה, זה בא לי בקלות, אני "רואה" את זה, מבינה את זה ומבינה את היופי שבזה. אבל בהסתכלות לאחור? פשוט זרקו עלינו נושא חדש, לימדו את הכללים וטחנו תרגול. השיטה הזו, כבר אז, התאימה לחלק קטן מאד מהתלמידים, לימוד חסר הקשר, שהיום הסיכויים שלו לעבוד הם אפילו קטנים יותר. ובעצב רב אני אומרת, שהשיטה שהילדים שלי לומדים מתמטיקה, לא השתנתה בהרבה.
יש היום הבנה שלימוד המתמטיקה צריך להשתנות. אפשר לראות את זה בפיתוח שיטות חדשות. כמו מודל הנבחרת של ערי חינוך. גם תהליך הפרסונליזציה שמתחיל להיכנס לחינוך, מתחיל את צעדיו הראשונים בארץ עם ניסיון לפרסונליזציה במתמטיקה עם פרויקט P.I.E Challenge .אני לא שוכחת את ההבטחה שלי מהפוסט הקודם, להקדיש לזה פוסט נפרד.
יופ הפאי אז איך צריך ללמוד מתמטיקה?
אני מוטרדת באופן קבוע מאיך צריך ללמד מתמטיקה. אחד הסיפורים שהשאירו עלי רושם שייך למרינה קיגל, עיתונאית, אמא לבן מתבגר. שהסכימה לספר לי את הסיפור ולשתף אותי בתובנות והחוויות האישיות שלה עם מתמטיקה.
אז איך את למדת מתמטיקה?
"אני בת בכורה. לדעתי, בתת מודע, אבא שלי רצה בן ולכן גם גידל אותי בהתאם. שני ההורים שלי באים מרקע של המדעים המדויקים, מתמטיקה ומחשבים. בבית תמיד היו ספרים הקשורים לנושא, ואבא תמיד סיפר לי עובדות מעניינות שקשורות למספרים וצורות גיאומטריות. בגיל 6 בערך קיבלתי ספר שמתאר בצורה משעשעת את המתמטיקה ואת האלגברה כממלכה קסומה. דרך המשחק בספר תוארו כל מיני נוסחאות, גילויים. למשל, איך קיבלו את המספר פאי או למה במשוואה שמים תמיד X ומה יקרה אם נקפל 64 פעמים דף נייר רגיל – כדי להמחיש מה זה חזקות. הספר הזה הניח אצלי בסיס והבנה שמתמטיקה זה סיפורים. כנראה כבר אז הייתי אדם של מילים ולכן זה עזר לי לפתח חשיבה אבסטרקטית. חוץ מזה, בבית אצלנו תמיד היו כל מיני עיתונים בסגנון של גלילאו צעיר, כל מיני אולימפיאדות במתמטיקה בהתכתבות ואיכשהו תמיד מצאתי את עצמי יושבת ופותרת תרגילים עם אבא.
במקביל שלחו אותי ללמוד פסנתר, כי התגלתה אצלי שמיעה מוזיקלית. למדתי בשני בתי ספר – הרגיל והמוזיקלי במקביל. עד שבכיתה ו' הוחלט שאני עוברת בית ספר למגמה למחוננים, המגמה הריאלית. היה לי נורא קשה לעבור כי פתאום דרשו מאיתנו לשבת ולהשקיע וכל הכיף נעלם. בסוף התרגלתי וכן, זה גם היה כרוך בלשבת לתרגל מלא עם אבא שלי ולבד.
אחרי שעליתי לארץ לכיתה ט' היה לי נורא קל, כי כל מה שלמדו כבר למדתי. גם כאן השתתפתי באיזו אולימפיאדה ואף נסענו לסיור בטכניון. בכיתה י"א וי"ב ב-5 יחידות מתמטיקה כבר היה קשה יותר, כמובן, אבל בסופו של דבר סיימתי עם ציונים די יפים"
במה זה שונה מאיך שלימדו בבית הספר?
"אני חושבת שמה שהיה מעניין בשיטה הזו זה שאבא הבין שאני ילדה סקרנית ומתעניינת בדברים. ולכן כדי לעניין אותי היה מספר לי סיפורים או מביא ספרים. כל מיני מושגים כמו מספרי פיבונאצ'י, או מספרים ראשוניים הומחשו לי תמיד בתור משהו שאפשר לדמיין. דמיון עשיר – זה מה שעזר לי לדעתי. לימודי מתמטיקה בבתי ספר תלויים מאד במורה. אין ספק שלתרגל זה חשוב אבל חשוב מאד גם לדעת להסביר ולהמחיש. כמו שבדרך כלל מסבירים שברים באמצעות פיצה"
הבן שלך לומד היום 5 יח"ל מתמטיקה, האם לדעתך משהו השתנה בצורת הלימוד, או בגישה למקצוע?
"הבן שלי נמצא במסלול 5 יחידות מתמטיקה, באופן רשמי הם מתחילים 5 יח' רק בשנה הבאה, אבל בינתיים הכל די אותו דבר – הרבה תרגולים, למרבה המזל המורה שלו פשוט מעולה ויודעת להסביר מעניין וברור. כמובן שאני מצדי תמיד מנסה לזרוק לו גם כל מיני סיפורים או סרטונים בנושאים מעניינים. נגיד הסרטון שממחיש איך עובד הסדר באינסוף – פרדוקס המלון, זה הסרטון האחרון ששלחתי לו"
האם לדעתך כולם חייבים ללמוד מתמטיקה?
"באופן אישי אני חושבת שמתמטיקה עושה לנו חיווט במוח. חיווט שבסופו של דבר יעזור לנו בחיים גם אם לא נשתמש בזה ברמה יום יומית. הרבה מאד מהמתמטיקה מבוסס על לוגיקה ולוגיקה זה טוב תמיד. לי אישית זה עזר מאד בזמנו ללמוד עברית, כי עברית זו שפה מאד מבנית וקלה להבנה. כך, למשל, בבגרות בלשון, אפילו אם הייתה מילה שלא הבנתי, ידעתי למצוא את השורש שלה ולבנות ממנה כל מילה אחרת מאותו שורש בין אם זה פועל או שם עצם, עבר, הווה או עתיד. העניין בחמש יחידות מתמטיקה זה שחוץ מהידע והתרגול, צריך גם יצירתיות. לא הרבה, בערך 20% אבל אלה 20% מכריעים. זה כמו שמוסיפים משקל באימוני כוח ואז מוסיפים ממש טיפה וזה כבר כבד מדי"
כיצד נכון לדעתך ומהחוויה האישית שלך ושל הבן שלך, ללמד מתמטיקה בצורה שתאפשר הבנה עמוקה ולא שינון שנשכח מיד אחרי הבגרות?
"לדעתי, תמיד חייב להיות סיפור רקע. למשל, היסטוריה של מתמטיקה – זה דבר מרתק לחלוטין. בעיני זה חייב להיות מקצוע נפרד. כזה שמלמדים אותו מבית הספר היסודי, כי שם נבנה הבסיס, שם נקבעת העובדה אם הילדה או הילד אוהבים או לא אוהבים מקצוע. וכמובן, חשוב לדעת גם להמחיש תמיד איפה בעולם האמיתי נזדקק למתמטיקה, וזה המון מקומות – החל מאפייה ובישול ועד מחשבים, כמובן".
אני חושבת שהחוויה האישית של מרינה ממחישה משהו שאני מאד מאמינה בו מאד, לימוד חייב להיות בהקשר. אם יש המחשה של עיקרון מתמטי בטבע, או לספר את ההיסטוריה של איך העיקרון הזה, התגלה, התפתח או הוכח, זה יכול לעשות שינוי עצום בלימוד המקצוע הזה. אם מספרים לילדים איך מתמטיקאי נתקל בבעיה, ובאיזה הקשר, ואיך הוא פתר אותה והוכיח אותה באמצעים שעמדו לרשותו הרחק בהיסטוריה, כמו לדוגמה שיטת המיצוי של ארכימדס שבעזרתה הוא חישב את פאי, זה משנה את חווית לימוד המתמטיקה בצורת דרמטית.
כשהקמתי את חטיבת החינוך של SpaceIL מעבר להקמת צוות המרצים, עבדנו על פרויקט להכנסת תכני SpaceIL בשיתוף מכון דוידסון לתכנית הלימודים במדעים. תחשבו לבד מה ההבדל כשלומדים פיזיקה ופותרים שאלה שמתחילה ככה: "גוף נופל במהירות התחלתית של…" לבין: "החללית הישראלית הראשונה, נעה במהירות של.." הילד שיושב ופותר שאלה שתמחיש לו את אותם עקרונות פיזיקליים, יכול לחשוב: "את מי מעניין הגוף זה, שייפול כבר, איפה אני עוד אתקל בזה?!" או שהוא יכול לחשוב: "וואו, אני פותר שאלה, שיש איזה מהנדס עכשיו שזו העבודה שלו לפתור את זה"
אני חייבת לציין את הניסיון המשעשע של הספר ללימוד פיזיקה, סירס-זימנסקי, לשאול אותנו שאלה שמתחילה ב"איש פלאי" אבל זו באמת היתה נקודה באפילה, ניסיון לא מוצלח, אבל עם כוונה טובה.
אז, לימוד ע"י הקשר. ולא רק במתמטיקה, אבל פה זה חשוב שבעתיים.
יום הפאי: אז צריך ללמוד מתמטיקה או לא?
אז איפה אני נמצאת על הספקטרום של ללמוד מתמטיקה או לא?
ובכן, זה מורכב.
דווקא סוגיה בנושא שכל כך מתחבר ללימודי מדע וטכנולוגיה שכל כך יידרשו בעולם החדש, הוכרעה אצלי מכיוון אחר לחלוטין. אני עוסקת רבות בחינוך בעולם החדש, מה הילדים יצטרכו ללימוד היום כדי שישתלבו בעולם התעסוקה בעתיד. למתמטיקה יש חלק גדול בעתיד בטכנולוגי שלנו שמתקרב בצעדי ענק. מן הצד השני אני מבינה את המתנגדים שאומרים, בעידן האוטומציה מה שיבדיל אותנו מהרובוטים, אלו מיומנויות רכות, שהרובוטים יעשו מתמטיקה.
אבל אני דווקא מסתכלת על המתמטיקה ככלי למוביליות חברתית, כמאפשרת, כנותנת הזדמנות. אם יושבת ילדה מוכשרת בפריפריה, שמוסללת לדרך חיים מסויימת, כמו אמא שלה וכמו סבתא שלה, הסיכויים שלה לפרוץ את המסלול האלה קטנים. באה המתמטיקה ומאפשרת לה לנצנץ. הגדיר זאת יפה שר החינוך:
"הביטוי 'שוויון הזדמנויות' הופך היום מסִיסמה למציאות: נגמרו הימים שילד רצה לגשת לבגרות של חמש יחידות, אבל בשל מקום מגוריו הוא לא היה יכול. אין לתלמיד מאופקים פחות פוטנציאל מתלמיד מסביון, רק צריך שלא נעצור אותו. אז מהיום כבר לא נעצור אותו ונאפשר לו לעשות חמש יחידות במתמטיקה".
אז אם כתבתי למעלה ש 5 יחידות מתמטיקה הסתברו כמנבא טוב לגבי יכולת השתכרות, הצלחה באקדמיה, בתעסוקה ובצבא, ועכשיו התכנית הלאומית לקידום המתמטיקה, באה ומנגישה את האופציה הזו לכל ילדה וילד מסביון, מאופקים, ממודיעין או מרהט, אז אין לי יותר שאלה האם צריך ללמוד מתמטיקה.
כל מה שנותן שוויון הזדמנויות ומאפשר מוביליות חברתית, אני לגמרי בעדו, ואם על הדרך זה תורם גם לחוסן הלאומי, ולעוצמתה וביטחונה של המדינה – דיינו!
וממש לסיום: גוגל הקדישו את הדודל היומי לכבוד חגיגות 30 שנה ליום הפאי. ואתם רק יכולים לדמיין איך אני מרגישה לגבי הסרטון, כמהנדסת שהיא גם קונדיטורית וגם מורה למתמטיקה. ולמרות שבמקום לאפות פאי כתבתי את הפוסט הזה, אולי אני אעשה את זה היום. ראיתם את המכשיר המגניב שהוא מקלף איתו תפוחים? יש לי כזה, הולכת לחפש אותו.
יום פאי שמח!
קצת אהבה
אהבתם את התכנים? שתפו בפייסבוק, תנו לייק והירשמו לניוזלטר
עשו לייק לעמוד הפייסבוק של הבלוג:
https://www.facebook.com/augmentedmom/
יש לכם הערות, הארות, פרגונים או שאלות? הגיבו פה למטה, אני עונה ותמיד שמחה לדיון.